Practical Time-Frequency Analysis - Chapter 1

Time-Frequency(시간-주파수)

• 1장은 Deterministic signals 의 Fourier theory에 대한 리뷰
  • Deterministic signal : 정의역 전체에 대해서 그 함수의 값이 해석적으로 정확히 알려지는 신호(이후 신호 특성 예측가능)

1.1 First Integral Transforms 과 Function Spaces(함수 공간)

• 기본적인 function space(함수 공간)은 복소수 값의 square-integrable 한 함수의 공간으로 정의된다. 다시말하면 $L^2: \R -> \Complex \Longleftrightarrow \int_{-\infin}^{\infin}|f(x)|^2dx < \infin$
• 이러한 함수 공간 내에서 내적 곱이 존재하며 이를 통해 힐베르트 공간으로 변환되게 된다.
  • $L^2(\R)$에 속하는 함수 $f,g$에 대하여 내적은 다음과 같이 정의된다. $<f,g>=\int f(x)\overline{g(x)}dx$
  • 여기서 첨자(bar)는 복소수 연산을 의미
• 우리는 에너지라는 단어를 함수의 $L^2$ norm 값으로 정의한다

1.1.1. Fourier Transform(푸리에 변환)

• 일반적인 푸리에 변환은 다음과 같이 정의
• $f \in L^2(\R)$일 때 $\hat{f}(\xi)=\int_{-\infin}^{\infin}f(x)e^{-i\xi x}dx \quad \xi \in \R$
  • 함수 $f$가 실수면 $\hat{f}(\xi)=\overline{\hat{f}(-\xi)}$
  • $f$가 완전히 적분가능해야지만 $\hat{f}$가 정의됨
  • 너무 저 표기 내에 들어있는 암시적인 내용이 많음!!!!!보충설명 추가할 예정
• 유한한 에너지 측면에서 함수 $f$가 적분가능하다는 걸로는 푸리에 변환이 항상 존재한다는 걸 보일 수 없기 때문에 $n>0$에 대해서 함수를 먼저 다음과 같이 정의해야 한다. $\hat{f}_n(\xi)=\int_{-n}^{n}f(x)e^{-i\xi x}dx$
• 즉 제일 처음의 플리에 변환 식은 암시적인 내용이 많지만 notation의 하나로 단지 알아두는게 좋다

• 안타깝지만 주어진 $\xi$에 대해 순열 ${\hat{f}_n(\xi)}_n$가 수렴하는 것은 보장될 수 없으며 진정한 수렴은 다음과 같이 $L^2$ 식으로밖에 보일 수 없다 $\lim_{n \rightarrow \infin} ||\hat{f}-\hat{f}_n||^2=\lim_{n\rightarrow \infin}\int_{-\infin}^{\infin}|\hat{f}(\xi)-\hat{f}_n(\xi)|^2d\xi=0$

• 푸리에 변환의 첫번째 (가장 중요한) 증명가능한 결과는 단일성(unitarity)이다. $\int|f(x)|^2dx=\frac{1}{2\pi}\int|\hat{f}(\xi)|^2d\xi$

  • $

    \hat{f}(\xi)

    ^2$값은 주파수 $\xi$에서의 에너지 또는 파워로 해석됨

  • $\xi \hookrightarrow

    \hat{f}(\xi)

    ^2$ 는 파워 스팩트럼이라고 불린다

  • 위의 관계는 parseval identity라고 불리우며 중요한 역활을 한다
  • 힐베르트 공간 $L^2(\R, dx)$와 $L^2(\R,d\xi/{2\pi})$에서 Unitary equivalnce와 isometry를 유지시켜 줌
• Parseval identity를 통해서 다음과 같은 동치성을 유도 가능 $\int f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi}\int \hat{f}(\xi)\overline{\hat{g}(\xi)}d\xi$

  • 아래의 동일성 사용하여 유도 $\4<f,g>=

    f+g

    ^2-

    f-g

    ^2+i

    f+ig

    ^2-i

    f-ig

    ^2$

  • 아래의 식처럼 간단하게 정리할 수 있음 $\<f,g>{L^2(dx)}=<f,g>=\frac{1}{2\pi}<\hat{f},\hat{g}>=<\hat{f},\hat{g}>{L^2(d\xi/2\pi)}$
  • 즉 푸리에 변환은 힐버트 공간의 내적을 보존함
• 결론적으로 다음과 같은 관계를 보일 수 있음 $\int f(x)\overline{g(x)}dx=\frac{1}{2\pi}\int (\int f(x)e^{-ix\xi}dx)\overline{\hat{g}(\xi)}d\xi \\=\frac{1}{2\pi}\int \hat{f}(\xi)\overline{(\int g(x)e^{-ix\xi}dx)}d\xi \\=\frac{1}{2\pi}\int (\int \hat{f}(\xi)e^{-ix\xi}d\xi)\overline{\hat{g}(x)}dx$
• 앞의 두 적분가능한 부호를 바꿀 수 있다면 Fatou’s lemma를 활용하여 신호를 다음과 같이 정리 가능????????????
• 앞의 정리를 통해 유한한 에너지를 가진 신호 g에 대해 사실이기 때문에 다음과 같이 정의 가능 (g에 1대입한듯) $f(x)=\frac{1}{2\pi}\int\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}d\xi$

• 이를 통해 푸리에 변환이 역변환이 가능할 뿐만아니라 역변환은 다음과 같이 주어짐을 확인할 수 있다. $\check{f}(x)=\frac{1}{2\pi}\int f(\xi)e^{i\xi x}d\xi$

• Parcival identity는 많은 함수적 분석 결과가 있기 때문에 중요하다
  • 그러나 우리의 메인 관심은 시간과 주파수 도메인에서의 에너지 보존에 있다는 것을 기억해라

    Localization : Heisenberg;s Inequality(하이젠베르크 부등식)

• 이 부분에서는 signal localization을 다룸
• 시그널 $f$가 잘 시간 축에 대해서 localized되었다는 것은 고정된 값에서 멀어질수록 값이 점차 작아지는 조건을 만족할 때를 말한다
• 시간과 주파수 영역에서 동시에 localization조건을 만족하는 것은 가능하지 않다
• 이러한 점을 Heisenberg uncertainty principle(하이젠베르크 불확실성 정리)라고 한다.
  • 시간 주파수 평균을 아래와 같이 정의되며 $\bar{x}=\frac{1}{||f||}\int x|f(x))|^2dx$ $\bar{\xi}=\frac{1}{||\hat{f}||}\int \xi |\hat{f}(\xi))|^2d\xi$
  • 분산은 다음과 같이 정의되게 된다. $\vartriangle_x=\frac{1}{||f||}\sqrt{\int(x-\bar{x})|f(x))|^2dx}$ $\vartriangle_\xi=\frac{1}{||\hat{f}||}\sqrt{\int(\xi-\bar{\xi})|\hat{f}(\xi))|^2d\xi}$
  • 이 때 하이젠베르크 불확실성 정리는 다음과 같다 $\vartriangle_x\vartriangle_\xi \geq \frac{1}{2}$
  • 가우시안일 때에만 위의 부등식이 등식이 된다.
• 해당 등식의 증명은 코시-슈바르츠 부등식의 결과로 확인할 수 있음(책 참조)

Fourier Series(푸리에 시리즈)

• 앞에서는 양방향으로 무한한 시퀀스들의 경우 $f={f_j}_{j=-\infin}^{j=\infin}$를 다뤘다
• 위 방법과 이후 1.2 방법의 모티브는 다음과 같다
  • 연속한 신호의 샘플링된 신호인 $f_j=f(x_0+j\vartriangle x)$ 사용
  • 편의성을 위해서 $x_0=0$을 가정하면 아래의 계산식을 얻을 수 있다 $\bar{f}(\xi) = \int_{-\infin}^{\infin} f(x)e^{-ix\xi}dx \\ =\sum_{-\infin}^{\infin}\int_{x_j-\vartriangle x/2}^{x_j+\vartriangle x/2} f(x)e^{-ix_j\xi}dx \\ \approx \ \vartriangle x \sum_{-\infin}^{\infin}f(x_j)e^{-ix_j\xi}$
• 위의 모티브를 통해 다음과 같이 양방향 무한의 푸리에 변환식이 얻어진다 $\hat{f}(\xi)= \ \vartriangle x \sum_{-\infin}^{\infin}f_je^{-ij\vartriangle x\xi} \quad \xi \in \R$
• 함수가 $2\pi/\vartriangle x$와 대칭이기 때문에 해당 구간 안에서만 함수를 정의할 수 있다.. $\hat{f}(\xi)= \ \vartriangle x \sum_{-\infin}^{\infin}f_je^{-ij\vartriangle x\xi} \quad \xi \in (-\frac{\pi}{\vartriangle x},-\frac{\pi}{\vartriangle x})$
  • 그 신호가 실제 실수 신호이면 경계를 $[0,-\frac{\pi}{\vartriangle x})$로 정의.
• 유한한 에너지 상황에서는 다음과 같이 표현 된다. $\sum_{-\infin}^{\infin}|f_j|^2 < \infin$
  • 유한한 에너지를 가진 Discrete한 시그널의 함수공간은 힐베르트 공간 $l^2(\Z)$이다.
  • 이 공간에서 $\vartriangle x$에 영향받지 않는다.
• 따라서 $\vartriangle x=1$로 두면 시퀀스의 Fourier Transform은 다음과 같이 정의된다. $\hat{f}(\xi)= \ \sum_{-\infin}^{\infin}f_je^{-ij \xi} \quad \xi \in [-\pi,\pi)$
  • 함수 $\hat{f}(\xi)$는 제곱끼리 더할 수 있는 시퀀스 $f={f_j}_j$의 푸리에 시리즈 합으로 정의된다
  • 또한 국부적인 제곱합이 존재하는 $2\pi$주기의 함수 또는 힐베르트 공간 $L^2([0,2\pi))$에서의 성분 중 하나로 생각할 수도 있다.
• 해당 함수에 대해서 푸리에 상수(Fourier coefficients) $c_j$는 다음과 같이 정의 가능 $c_j=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\hat{f}(\xi)e^{ij\xi}d\xi$
  • 앞의 과정과 비교해보면 $f_j=c_j$이며 기존 시퀀스 $f={f_j}_j$는 그 자신의 푸리에 시리즈의 합으로 다시 복구(recover, reconstruct)할 수 있다.
  • 파시발의 공식도 앞처럼 정의가 가능하다 $\sum_{j \in \Z} |c_j|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}|\hat{f}(\xi)|^2d\xi$
  • 푸리에 시리즈의 수렴은 힐베르트 공간 $l^2(\Z), L^2([-\pi,\pi))$의 문제이다.
• 뒤에 공부할 Sampling 관련해서 $\vartriangle x$를 추가해서 푸리에 시리즈 역변환 공식을 정리해보자 $f_j=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{\pi}{\vartriangle x}}^{\frac{\pi}{\vartriangle x}}\hat{f}(\xi)e^{ij\vartriangle x\xi}d\xi$

#### Finite Fourier Transform(유한 푸리에 변환)

• 아직도 푸리에 변환에 대해서 고려할 것이 남았다
• 양방향 무한 시퀀스는 샘플링의 기반이 되기 때문에 중요
• 그러나 실제 생활에서는 오직 finite sequence(유한한 시퀀스) 만이 사용됨
• 단위 시간 간격 샘플링 ($\vartriangle x=1$)에 대해서 유한한 시퀀스 ${f_0, f_1,\cdots f_{N-1}}$에 대해 유한한 푸리에 변환 ${\hat{f}0, \hat{f}_1,\cdots \hat{f}{N-1}}$은 다음과 같이 정의된다. $\hat{f}_k=\sum_{j=0}^{N-1}f_je^{-2i\pi jk/N}$
  • $j <0 \; or \; j \geq N$ 조건에서 계수 $f_j=0$이라고 생각하면 편하다.
  • 그리고 우리는 합을 이산적인 값 $\xi_k = 2\pi k/N$에서 계산 진행
  • 간격이 $[-\pi,+\pi)$가 아니라 $[0,ㅡ2\pi)$임에 주의
• 역변환도 다음과 같이 표현 가능 $f_j=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\hat{f}_ke^{2i\pi jk/N}$
  • 위의 변환 식과 마찬가지로 $\vartriangle x=1$값도 포함 가능
• 푸리에 변환과 그 역함수가 계산이 엄청 빠른 성질을 가지고 있다.
• FFT에 대해서 차후(5.6강) 공부해나각면서 이를 확이날 수 있다.

1.1.2 Hilbert Transform, Analytic Signal(힐베르트 변환, 분석 신호)

• 이 단원 마지막에는 에너지 보존 특성으로 시간-주파수 변화에 대해서 논의할 예정
  • 시간-주파수가 섞인 영역(mixed domain)에서의 에너지 표현방식을 알 수 있음
• 그 전에 먼저 힐베르트 변환과 분석 신호에 대해서 설명할 것
• 신호 분석에서 그것들은 수학적으로 진행할 때보다 일반적인데 내제적이고 인상적인 해석을 제공해 주기 때문이다

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